学报专栏

微积分的历史、方法及哲学思想 (作者任艳惠)

(山西信息职业技术学院基础部  山西临汾  041000)
       【摘  要】微积分时一门重要的学科,本文首先对微积分的思想萌芽进行了概括,其中包括中国在内的许多古代的思想就包含了原始的微积分的思想,微积分的主要发展是在欧洲,在十七世纪的欧洲,由于自然科学发展的需要,危及分开始了快速的发展,后来牛顿和莱布尼茨完成了在微积分中最重要的工作,使得当时的许多问题得到了圆满的解决,由于当时微积分的基础并不完善引发了许多问题,后来柯西等人完善了微积分的基础,使得微积分进一步的完善并引发了许多新的分支。其次是对微积分计算中的一些方法进行了简单的总结,我分别对导数和激愤进行了描述并且用一些简单的例题进行了说明,由于微分和导数相似所以就没有进行描述了,最后是我对其中蕴含的哲学思想进行的理解。
       【关键词】微积分;导数;积分;哲学思想
        1  微积分的发展史
        1.1  微积分思想的萌芽
        微积分的产生一般分为三个阶段:极限概念;求积的无限小方法;积分与微分的互逆关系 。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作,欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作,古代中国毫不逊色于西方,微积分思想在古代中国早有萌芽,甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想;公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外)的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得 圆周率约等于3 .1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想的深刻体现。
        微积分思想虽然可追朔古希腊,但它的概念和法则却是16世纪下半叶,开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。
        南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷,创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字(高次)方程近似解,比西方早500多年。
        特别是13世纪40年代到14世纪初,在主要领域都达到了中国古代数学的高峰,出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”(一次同余式组解法)、“垛积术”(高阶等差级数求和)、“招差术”(高次差内差法)、“天元术”(数字高次方程一般解法)、“四元术”(四元高次方程组解法)、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后,八股取士制造成了学术上的大倒退,封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落,在微积分创立的最关键一步落伍了。  
        1.2  十七世纪微积分的酝酿
        文艺复兴之后,基于实际的需要及理论的探讨,积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便,麦卡托(Mercator) 发明了所谓的麦氏投影法,使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。
        17世纪的前半,是微积分学的酝酿时期。确实划分微积分学这门学科是在17世纪由莱布尼茨和牛顿几乎同时创立的,对此学界曾有极大的争论,两人曾为争夺微积分的发明权诉诸皇家学会仲裁。 在他们创立微积分以前,人们把微分和积分视为独立的学科。而微积分之名与其符号之使用则是莱布尼兹所创。
        虽然说微积分是莱布尼茨和牛顿 发明的,但是指的是他们两人使微积分观念成熟,澄清微、积分之间的关系,使计算系统化,并且把微积分大规模使用到几何与物理上。在他们之前,微积分是萌芽时期,观念在摸索中,计算是个别的,应用也是个别的。
        在牛顿、莱布尼兹以前,对微分、积分最有贡献的大概要算费玛了,可惜他未能体会两者之间的密切关系。而牛顿的老师巴娄(I. Barrow, 1630~1677)虽然知道两者之间有互逆的关系,但他不能体会此种关系的意义,其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功,予西方数学非常深远的影响,一般认为,唯有几何的论证方法才是严格的,才是真正的数学,代数也不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费玛倡导以代数的方法研究几何的问题。这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心,而另一方面代数方法仍然未臻成熟,实数系统迟迟未能建立,所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能有有效的计算方法,如巴娄就是。牛顿虽然背叛了他老师的纯几何观点,发展了有效的微分方法,可是他的方法迟迟未敢发展。虽然他用了微积分的技巧,由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系,但因害怕当时人的批评,在他1687年的巨著《Principia》中,却把微积分的痕迹抹去,而仍以古典的几何论证方式论述。
       1.3  微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作
       与牛顿大致同时,博学的哲学家和数学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)也从求曲线切线和求曲边梯形面积的研究,开始独立地建立了一套微积分理论。他注意到求曲线的切线需要确定曲线的纵坐标之差和横坐标之差的比,而求曲边梯形面积则需要确定曲线的纵坐标之和,于是他把微分问题和积分问题联系起来,把两者看作互逆运算,大约在1673—1676年间写了成百页的笔记,按照自己的处理方式创立了一套关于无限小量的求“差”法和求“和”法,即微分学和积分学。1684年莱布尼茨发表了他在微积分方面的第一篇论文。这篇论文只有六页篇幅,却用了一个很长的标题:《关于极大和极小以及切线的一种新方法,它对分数或无理数也适用》。其用意在于和牛顿一样特别强调他的新方法的一般的适用性。实际上,把微积分方法一般化,使之发展为一种能够广泛应用于各类函数的普遍的方法并且建立一套系统的理论,也正是牛顿和莱布尼茨“完成”微积分的主要贡献。
        莱布尼茨建立微积分的方法与牛顿有所不同。牛顿是从流量的无穷小增量之比(直到引入“最后比”和“最初比”的概念)出发作为求流数或导数的手段,也就是说他是从变化率,从导数出发的,而且实际上运用了极限的概念;而莱布尼茨则直接从变量的无穷小增量出发,并想给微分下一个不依赖于极限方法的令人满意的定义,也就是说,他的全部工作是以微分(而不是变化率、导数)为基础的。这可能是因为牛顿的变化率(导数)来源于他的速度、加速度等力学概念,而莱布尼茨的无穷小增量(微分)则来源于他的单子(monad)论的哲学观念。在这里也反映出了这两位数学家同时作为科学家或哲学家的特点。关于积分的理解,两人也各有侧重。牛顿把流量定义为给定的流数所由以生成的量,即以给定的量为流数的量,或者说就是流数之逆,把重点放在不定积分上。而莱布尼茨则把积分定义为一个量的所有值的和,或无穷多个无限窄的矩形之和,把重点放在定积分上。这也就是至今还有时把前者称为“牛顿意义下的积分”,而把后者称为“莱布尼茨意义下的积分”的原因。
        莱布尼茨花费很多精力创造了一套更好的记号系统。迄今我们使用的微分、导数、积分等符号都是由他首创的。
        牛顿在1676年听说莱布尼茨也在研究微积分,便于12月24日写信给莱布尼茨,用当时一些科学家惯用的字谜形式暗示他已经掌握了微积分的基本原理。后来,莱布尼茨关于微积分的第一篇论文比牛顿发表的第一部著作早了三年时间。可是,在这以前,从1665年起,牛顿曾把他的成果告诉过他的一些科学家朋友,特别是1669年给巴罗教授看过他的《分析学》,这样就酿成了又一场关于优先权的争论。其中特别是由于莱布尼茨在牛顿完成其前两段工作之后曾访问巴黎(1672年)和伦敦(1673年),并且和了解牛顿微积分工作的科学家们通过信,因而被指责为“剽窃者”。这使他起而为自己的名誉辨护,因而使这场争论达到了相当激烈的地步。许多数学家都被牵扯了进来,直到使欧洲数学家分成两派,大陆的数学家们为莱布尼茨辩护,英国的数学家们则捍卫牛顿,以至长期对立,形成学术上的门户之见,达到双方停止了学术思想交流的程度,影响了此后一段时间的数学进展。在牛顿和莱布尼茨都已逝世之后进行的调查表明:虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的,但莱布尼茨也是微积分主要思想的独立创立者,他们都同样地接受了前辈数学家的启发,同样地作出了自己的独立贡献。在以前的科学史上我们已经看到,在以后的科学史上我们还将一再地看到这种同一发现在大致相同的时间被完全不同甚至互不相识的人们独立完成的现象。这种现象的大量出现,最好不过地说明:是科学的发展造就了杰出的科学家,而不是杰出科学家的个人天赋决定了科学的发展。
        1.4  十八世纪微积分的发展
        微积分的创立,被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪,微积分进一步深入发展,这种发展与广泛的应用紧密交织在一起,刺激和推动了许多数学新分支的产生,从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上,18世纪可以说是分析的时代,也是向现代数学过渡的重要时期。
        无限小算法的推广,在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。
        推广莱布尼兹学说的任务,在从17世纪到18世纪的过渡时期,主要是由雅各布。伯努利(Jacob Bernoulli,1654—1705)和约翰。伯努利(John Bernoulli,1667—1748)担当。这两兄弟来自历史上最大的数学家族—瑞士巴塞尔的伯努利家族。这个原先从荷兰安特卫普迁来的商人家庭,在17、18世纪先后产生了十多位著名的数学家,雅各布和约翰是其中最有影响的两位。二人在学术上的争强好胜留下了许多有趣的科学轶闻,但他们都是莱布尼兹忠实的学生与朋友。他们的工作,构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。
        约翰。伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分,这些方法已经成为今天微积分教科书中求函数积分的常用方法。
        当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时,他们就在自己面前打开了一片新天地,因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。雅各布。伯努利在求双纽线(在极坐标下方程为 )弧长时,得到弧长积分在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分这属于后来所说的“椭圆积分”的范畴,它们既不能用代数函数,也不能用通常的初等超越函数(如三角函数、对数函数等)表示出来。椭圆积分的一般形式是(其中 是 的有理函数, 则是一般的四次多项式)。
        虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念,但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。
        1720年,尼古拉。伯努利(Nicolaus Bernoulli II 1687—1759)证明了函数 在一定条件下,对 求偏导数其结果与求导顺序无关。欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上,欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。
        微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数,他凭藉二项式定理得到了 和 等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法在18世纪,各种初等函数的级数展开陆续得到,并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。
莱布尼兹也曾独立地得到了 和 等的级数,但他却对微积分问题的有限或封闭形式的解更感兴趣,他的学生们弥补了这方面的不足。尤其是雅各布。伯努利,他在1689—1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文,使他成为当时这一领域的权威,这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用。这些构成了雅各布。伯努利对微积分算法的重要贡献。但就级数理论本身而言,其中一个很有启发性的工作是关于调和级数
的和是无穷的证明。他首先指出了
        故有这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于 ,于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和,使它大于任何给定的量。调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果,特别是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式。例如,斯特林在1730年得到一个发散的级数表示:
它相当于。利用它可以作 的近似计算。当 很大时,,称之为斯特林公式,虽然这一极限情形是由里莫佛得到的。    上述斯特林级数系数中出现的 叫做“伯努利数”; 它们是雅各布。伯努利在他的一部概率论著作《猜测术》(Ars Conjectandi,1713)中求整数 正整数次幂和公式时得到的。伯努利的公式是: 伯努利数今天已成为分析中应用极广的数。
 除了调和级数,当时引起热烈辩论的另一类发散级数是,雅各布。伯努利在1696年的论文中作如下推理:当 时得到。
但另一方面伯努利称这些互相矛盾的结果为“有趣的悖论”。1703年,意大利数学家格兰弟(G。Grandi)通过 的级数展开又重新发现这一悖论:在级数中令 ,得。
格兰弟称之为“无中生有”。
        这类发散级数悖论刺激了人们对无穷级数收敛性的思考。18世纪先后出现了一些级数收敛判别法则。如莱布尼兹变号级数收敛定理(1713):级数 若 交替变号,且 趋于 ,则该级数收敛;麦克劳林积分判别法(1742):级数 收敛的充要条件是 有限( 在 上有限且同号);达郎贝尔级数绝对收敛判别法(1754):级数 绝对收敛,若存在数 ,使对所有的 ,有 ( 为固定的常数),等等。这些说明18世纪的数学家们已开始注意到无穷级数的收敛性问题,尽管对这一问题真正严格的处理要等到19世纪。
 18世纪数学家们一方面努力探索使微积分严格化的途径;一方面又往往不顾基础问题的困难而大胆前进,大大扩展了微积分的应用范围,尤其是与力学的有机结合,已成为18世纪数学的鲜明特征之一,这种结合的紧密程度是数学史上任何时期不能比拟的。当时几乎所有数学家都不同程度地同时也是力学家。欧拉的名字同刚体运动与流体力学的基本方程相联系;拉格朗日最享盛名的著作是《分析力学》(Traite de mechanique analitique,1788),它将力学变成分析的一个分支,拉普拉斯许多最重要的数学成果是包含在他的五大卷《天体力学》中,这种广泛的应用成为新思想的源泉而使数学本身大大受惠,一系列新数学分支在18世纪成长起来。
        常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的,牛顿和莱布尼兹的著作中都处理过与常微分方程有关的问题。从17世纪末开始,摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程,这些问题在当时往往以挑战的形式被提出而在数学家之间引起热烈的讨论。有名的如悬链线问题:求一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点而形成的曲线。这问题于1690年由雅各布。伯努利提出,第二年莱布尼兹、惠更斯(C。Huygens,1629—1695)和约翰。伯努利均发表了自己的解答,其中约翰。伯努利通过建立悬链线方程,解出了曲线 。类似的还有与钟摆运动有关的“等时曲线”方程(1690,雅各布。伯努利),以及与光线路径问题有关的“正交轨线”方程(1715,莱布尼兹、牛顿)等。
        数学家们起初是采用特殊的技巧来对付特殊的方程,但逐渐开始寻找带普遍性的方法。莱布尼兹在1691年已用分离变量法解出了形如 的方程。1696年他又用变量替换 将现在所称的“伯努利方程”(雅各布。伯努利,1695)
化成了关于 和 的线性方程。伯努利兄弟也推进了分离变量法与变量代换法。
        2  导数和积分的计算方法
        2.1  导数
        2. 1. 1 用定义求函数的导数
        导数的定义不仅阐明了导数概念的实质,也给出了求导数的一种方法。我们把按导数的定义求导数的方法称为求导数的 法则。步骤如下:
      (1)求增量: ;
      (2)算比值:
      (3)求极限:
    下面我们应用上述法则求几个函数的导数,得出的结果,都可以作为公式使用。
    例1  求函数y=C(C是常量)的导数。
解  (1)求增量:因为不论自变量取什么值,恒有y=C,所以
      (2)算比值: ;
 
      (3)求极限:
    即          。
    例2  求函数y=xn(n为正整数)的导数。
解 
     (1)求增量:因为 ,所以
     (2)算比值:
     (3)求极限:
    即       
后面还可以证明,上述结果对n为任何实数都成立。
例如,
等等。
例3         求函数y=sinx的导数。
  (1)求增量:
应用和差化积公式:
把 改写为
  (2)算比值:
  (3)求极限
即    。
用类似的方法,可求得y=cosx的导数为 。
求函数 的导数。
解  因为
所以   
取极限得
即   。
特别地,当a=e有 。
    例5  求等边双曲线 在点 处的切线的斜率,并写出曲线在此点处的切线方程和法线方程。
解  设曲线在点 处的切线斜率为k,由导数的几何意义知
所以得线切方程为 ,即
所求法线方程为 ,即
    2.1.2函数的和、差、积、商的求导法则
    A.设函数u(x)及v(x)在点x有导数,则函数u(x)±v(x)在点x也有导数,并且
    即两个函数的和或差的导数等于它们的导数的和或差。
证  设 。令x取得增量 ,那么函数u,v及 分别取得增量 ,且
两边取极限,就有
即 
    上述法则可以推广到任意有限个可导函数的和或差的情形,例如
    B.设函数u(x)及v(x)在点x有导数,则乘积u(x)v(x)在点x也有导数,且 。
    即两个函数乘积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个导数,加上第二个函数的导数乘第一个函数。
证  设y=uv,则
 
因为u连续,即当 时, ,所以
即 。
    特别地,当u=C(C为常数)时,有
即常数因子可以提到导数符号外面来。
上述法则可以推广到任意有限个可导函数相乘积的情形,例如,
   C.设函数 及 在点 有导数,且 ,则函数 在点 也有导数,且
证   设 ,则
两端取极限得 
即 。
例6  求 的导数。
    例7  求 的导数。
解 
    例8  求 的导数。
解 
    例9  求 的导数。
解 
    例10  求y=tgx的导数
解 
即 。
用类似方法可求得
   例11  求y=secx的导数。
解 
即 。
用类似方法可求得 。
2.2  积分
设函数 在闭区间[ ]上连续,并设 为[ ]上的一点,则 在[ ]上可积, 为一确定的值.因为定积分与积分变量的记法无关,所以为了明确起见,上面的定积分写成 .
容易发现:如果上限 在区间[ ]上任意变动,对于每一个取定的 值,定积分都有一个对应的值,所以 在区间[ ]上是 的一个函数,记作 .   
即  =          (3)函数 是积分上限 的函数,因此简称为
积分上限函数
2.积分上限函数的导数
定理1  如果函数 在区间[ ]上连续,则积分上限函数
=
在区间[ ]上可导,并且它的导数是
=          (4)
证明: 当上限 取得增量 时,函数 的增量为
=
                = +
                =
应用积分中值定理,有
                  ( 在 与 之间)
于是由于 时, ,且 区间[ ]上连续所以.
说明:
(1)连续函数 取变上限 的定积分,然后求导;其结果还原为 本身,说明积分运算和微分运算是互为逆运算.  即  
=
(2)连续函数 的变上限定积分 是 的一个原函数.因此在区间[ ]上任一连续函数的原函数一定存在.
   例1  求 (1) ;  (2) .
解: (1)
      (2)
二、牛顿——莱布尼兹公式
定理2  如果函数 是连续函数 在区间[ ]上的任一原函数,则
             = .                     (5)
证明  因为 在区间[ ]上连续,由定理1可知, 也是 的一个原函数.已知 是 的一个原函数.于是这两个函数之间至多相差一个函数 ,即
= +       ( 为常数)
由于 =0,     从而 =
再令 ,则得
即  =
为方便起见,常用符号 表示 ,这时公式(5)可以写成
                 = =
公式(5)称为牛顿-莱布尼兹公式,也称为微积分基本公式。
例2       计算
解  因为 ,  所以
例3          计算
解   因为
所以 是 的一个原函数.
因此有     
例4          计算
解              
注意:如果函数 不满足可积条件,这时牛顿---莱布尼兹公式是不能使用的.
例如   
上面做法是错误的,因为在区间 上 为函数 的无穷间断点,故在该区间上不能使用牛顿---莱布尼兹公式.
        3  微积分中蕴涵的哲学思想
        微积分中蕴涵着丰富的哲学思想,如“量变到质变”、“对立统一规律”、“特殊存在于一般之中”等,在教学中注意对学生哲学思想的培养,不仅能够使学生更好地掌握数学知识,而且能够增强学生的辩证思维能力。1.积分概念中蕴涵的哲学思想定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的产生是解决实际问题的需要,解决的基本方法是:①有限分割,②以直代曲或以匀代变的近似计算,③有限积累的求和,④极限转化。比如定积分的概念是由求曲边梯形的面积引出的,和式ni=1∑f(ξi)Δxi表示n个矩形面积之和;当时λ→0,limλ→0ni=1∑f(ξi)Δxi则是曲边梯形的面积。马克思曾对微积分作过一番历史考察,他把这一时期称为“神秘的微积分”时期,并有这样的评论:“于是,人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的(而且在几何应用上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了,对这新发现的评价更高了,使一群旧式正统派数学家更加恼怒,并且激起了敌对的叫嚣,这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响,而为新事物开拓道路,这是必然的。”恩格斯早就指出:“一个民族想要站在科学的最高峰,就一刻也不能没有理论思维。”希望我国的青年朋友们要深刻地理解这句话的现实意义。
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The History、Method and Philosophy of Calculus
Abstract:Calculus is a very important subject. The dissertation begins with an importantof the sprouting of  Calculus idea . In the 17th century in Europe, Calculus got a qiuck development of nature science . Afterwards , Newton and Leibniz finished the more importment part of Calculus , which made many questions solved successfully at that time . As the basis of Calculus was not perfect , a lot of questions appeared .Neat , Cauchy and some others improved it and made it much better , so they brought about a plenty of new branches .In the second part ,it comes to a simple conclusion of some methods to the counting of Calculus . The author makes a description of derivative and integral and illustrates them with some simple examples . Owing to Calculus is so similar with derivative , the author didn’t depict them . Finally , the author makes a deep understanding of the philosophy contained in it .
Key Words: Calculus , Derivative, Intergral, Philosophy


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